Guten Morgen und herzlich willkommen im Forum!
Dankeschön erstmal für die ausführlichen Informationen, das ist nicht selbstverständlich und doch sehr hilfreich.
Ich finde auch, Du bist schon auf der richtigen Fährte.
Die Einsteiger-Modelle von Canon (700D oder auch 1200D oder so) sind technisch einfach nicht mehr aktuell, und fallen schon wegen Deiner Bedingung mit 50-60 Bildern pro Sekunde weg, das können alle Canon-DSLRs nicht mehr in FullHD... Die Nikon D3300 mit Kit-Objektiv ist auch wirklich ein super Produkt und liegt genau in Deiner Preisvorstellung. Das Upgrade zur D5300 lohnt sich in meinen Augen nicht. Der Nachfolger D5500 hätte noch den wirklich praktischen Klappbildschirm, aber die ist noch merklich teurer. Die Kamera erfüllt im Prinzip alles was Du angefragt hast: Tolle Bildqualität, Videos mit 60 Bildern/Sekunde, gute geeignet für Familienaufnahmen. 
Ich bin hier im Forum auch einer derjenigen, die immer wieder die Sony Alpha 5100 oder Alpha 6000 in den Ring werfen, mit Objektiv sprengt aber letztere selbst den erweiterten Rahmen von 600€, deshalb lass ich sie mal außen vor. Ich selber hab zwei kleine Kinder (2 und 0 Jahre) und besitze die Canon 70D mit super Objektiven und hab momentan die Sony Alpha 5100 ausgeliehen. Und ich muss bzw. kann bestätigen: Von der Bedienung her ist die 70D eine wahre Freude und ich werde sie auch sicher nicht hergeben, aber die Bildqualität der deutlich günstigeren Alpha 5100 ist halt leider, leider echt besser.
Der darin enthaltene Chip ist übrigens auch genau der gleiche wie in der Nikon D3300 (und den höheren Nikon-Modellen), deshalb unterscheidet sich die Bildqualität nicht wahnsinnig. Der große Vorteile einer solchen DSLM ist halt, dass man im Video-Modus einen funktionierenden Autofokus hat. Bei Nikon-Kameras (und auch Canon in dieser Preisklasse) kann man den völlig vergessen und muss eigentlich immer von Hand scharf stellen. Das ist bei schnell bewegten Kindern fast ein Ding der Unmöglichkeit... Da hat also die Sony wirklich die Nase vorn: Praktisch identische Bildqualität aber Video-Autofokus. Das Problem liegt ein bisschen in der Bedienung der Kamera: Es gibt kein Modus-Wahlrad und nur sehr wenige per Knopf erreichbare Einstellungen, man muss also für manuelle Bedienung öfter mal in die Menüs abtauchen. Die Kamera hat zwar einen Touchscreen (für Videos sehr praktisch: auf ein Motiv tippen um es scharf zu stellen), aber der funktioniert bei den Menüs nicht, so dass man sich mit Scrollrad und Pfeiltasten durchackern muss. Ein weiteres Problem ist, dass die Alpha 5100 keinen Sucher hat, sondern nur ein Display zum Fotografieren und Filmen. Im hellen Sonnenlicht ist das schon manchmal nervig und schlecht zu sehen. Außerdem ist die Kamera sehr klein, was in großen Männerhänden ein bisschen hakelig sein kann.
Ich würde also an Deiner Stelle wirklich mal in den Laden gehen und die beiden Kameras, eine Nikon D3300 und eine Sony Alpha 5100 in die Hand nehmen und damit rumprobieren. Von der Bildqualität her nehmen sich beide nichts, beide können 50p/60p filmen, beide haben ein relativ leises Objektiv (die Sony ist hier noch minimal leiser). Es geht also vor allem um die Bedienung, und da kannst Du auf folgendes achten:
- Welche Größe sagt Dir mehr zu? Die Nikon die gut in der Hand liegt, oder die Sony die sehr transportabel ist. Vielleicht solltest Du dafür auch Deine Frau mitnehmen, die womöglich kleinere Hände hat.
- Kommst Du mit dem fehlenden Autofokus der Nikon klar? Wäre es also denkbar, dass Du beim Filmen von Hand scharf stellst?
- Fehlt Dir bei der Sony der Sucher, oder die vielen Tasten zur Bedienung?
Da ist die Entscheidung am Ende dann doch eine Geschmackfrage und davon abhängig, was Du so haben willst...